特集記事（高校）

　今回は『積分による面積計算』です。以前の連載記事でも紹介した内容になりますが，今年の受験生のためにもう一度整理しておこうと思います。

10.1　スライディング・インテグラル

　定積分の計算において，グラフの平行移動を利用するとラクに計算できる場合があります。
　例えば，下図（左）の灰色部分の面積は，グラフ全体を（積分区間も一緒に）\(x\) 軸方向に \(-3\) 平行移動した下図（右）の灰色部分の面積と等しいはずです。したがって

\(\displaystyle \int_3^4 (x-3)^2 dx=\displaystyle \int_0^1 x^2\ dx=\left[\cfrac{1}{3}x^3\right]_0^1=\cfrac{1}{3}\)

とできます。

　このことは，計算上は置換積分（数学Ⅲ）で説明できますが，図を描いて平行移動していることを考えれば当然成り立ちます。
　大山はこれを「スライディング・インテグラル」とよんでいます（笑）

　さて，上記の技術の練習に使えるのが次の問題です。

　前半は微分法の問題で，後半は面積計算と，基本を確認できる良問です。（解答例はこちら）

10.2　６分の１公式

　定積分計算の有名公式があります。

【証明】

　グラフ全体を \(x\) 軸方向に \(-\alpha\) 平行移動しても定積分の値は変わらないから

\(\begin{aligned}
\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\ dx
&=\int_0^{\beta-\alpha}x\{x-(\beta-\alpha)\}\ dx \\[5pt]
&=\int_0^{\beta-\alpha}\{x^2-(\beta-\alpha)x\}\ dx \\[5pt]
&=\left[\cfrac{1}{3}x^3-(\beta-\alpha)\cdot\frac{1}{2}x^2\right]_0^{\beta-\alpha} \\[5pt]
&=\cfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\cfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^3-0 \\[5pt]
&=-\cfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{aligned}\)

　この公式は，2次以下の2つの関数グラフで囲まれる領域の面積を求めるときによく使います。
　もっと言うと，差関数が2次関数になるような2つの関数グラフで囲まれる領域の面積に使えますが，今回は「差関数」の話は横においておきましょう。

　次の問題のように交点の座標がメンドウな値になっているときに重宝します。

　6分の1公式をウマく使えましたか？（解答例はこちら）

10.3　円が関係する面積

　円が出てきたら，図形的に処理する部分と積分計算で処理する部分とをウマく分けてあげます。
　このとき，扇形に注目することになるので，中心角が分かりやすい値になっているはずです。そこを見抜きましょう！

　次の問題は，円と放物線が接するときを考える定番問題です。

　(1)の解き方の厳密性については議論の余地があるのですが，まぁ，今回の主題はそこではありません。
　扇形の中心角がキレイに得られることに気付けたでしょうか？（解答例はこちら）

　そして次は，同じく円がグラフに接する問題ですが，数学Ⅲの知識が必要であり，けっこうタイヘンです。理系の受験生はチャレンジしてみましょう！

　これをスムーズに解けた人はかなり実力があると思ってイイでしょう。 自信を持ってください♪（解答例はこちら）

　第10回は以上です。
　なんだかんだ言って，積分計算による面積・体積の求積問題は高校数学の花形です。数多く演習を積んで，得点源にしておきましょう！
　次回は「整数問題」を扱ってみようと思います。お楽しみに♪