特集記事（高校）

　今回は『指数関数・対数関数』についての入試問題を紹介します。
　正直言って，あまり重要視されない分野ですよね（苦笑）
　それだけに，意外と盲点の多い分野です。確かに，問題のパターンが多いわけではないので，しっかり計算練習して，確実に得点できるようにしておきましょう！

6.1　指数関数のグラフ

　指数関数 \(y = a^{x}\)（\(a\) は1でない正定数）のグラフは次のようになっています。

　いずれにしても単調性がある（途中で増減が変わらない）ので，\(y\) の値が分かれば対応する \(x\) の値がただ一つに定まります。
　また，\(t = 2^{x}\) などとおきかえるときには，\(t\) のとり得る値の範囲が \(t \gt 0\) となることに注意しましょう。

　例えば，\(x\) についての不等式

\(2^{2x+1} + 2^{x}-1 \lt 0\)　…①

は，\(t = 2^{x}\) とおくことで

① \(\iff (2^{x})^{2}\cdot 2^{1} + 2^{x}-1 \lt 0\)

\(\therefore 2t^2 + t-1 \lt 0\)

とでき，\(t\) についての2次不等式になります。これは，さらに

\((t + 1)(2t-1) \lt 0\)　…②

\(\therefore -1 \lt t \lt \cfrac{1}{2}\)　　 …③

と解くことができます。
　ここで，\(t = 2^{x}\) のグラフを思い出すと次図のようになり，③に適する範囲は図の灰色部分（グラフは青線部分）です。

　よって，①を満たす \(x\) の値の範囲は \(x \lt -1\) となります。

　ちなみに，\(t = 2^{x}\) とおきかえた時点で \(t \gt 0\) と考えているのだから，②の \((t+1)\) は正です。よって，\(t \gt 0\) のもとでは

② \(\iff 2t-1 \lt 0 \iff t \lt \cfrac{1}{2} \)

\(\therefore 0 \lt t \lt \cfrac{1}{2}\)

とできるので，こう考えてから \(x\) の範囲を求めても良いですね♪

　指数関数に限った話ではありませんが，おきかえたら範囲の確認を忘れないようにしましょう！
　さて，シンプルな指数方程式の問題がこちら。基本的な問題です。

　指数法則を正しく使えて，また，3次方程式の解法が身についていれば，特に怖くない問題ですね。（解答例はこちら）

　次に，指数不等式が「つねに成り立つ」条件を考える問題がこちら。

　おきかえたあとの2次関数の下限を考えるのがメインの問題です。等号の付け方などの細かいところでも差がつくので，慎重に解かなければいけません。（解答例はこちら）

6.2　対数の定義

　\(y = 2^{x}\) のグラフを考えれば，\(y = 3\) となるような \(x\) の値が，1から2の間にありそうですが，それを表記する方法が無かったのですね。
　そこで，\(2^{x} = 3\) となる \(x\) を \(x = \log_{2}{3}\) と書くことにしたのです。

　一般的に，1でない正の数 \(a\) と，正の数 \(P\) に対して

\(a^{n} = P\) となる \(n\) を，\(n = \boldsymbol{\color{#ff0000}\log_{a}{P}}\) と書く

と定義したのです。つまり，指数の部分だけを取り出したものが \(\log\) です。
　したがって，大山はこの \(\log_{a}{P}\) を「\({\color{#0693e3}\boldsymbol{a}}\) を \({\color{#0693e3}\boldsymbol{P}}\) にする指数」と呼んでいます。
　上記の定義が理解できれば

\(\boldsymbol{\color{#ff0000} a^{\log_{a}{P}} = P}\)

という関係が成り立つのも当然ですね。

　例えば，\(\log_{3}{81}\) は「3を81にする指数」であり，\(3^{\log_{3}{81}}\) は「3を81にする指数を本当に3の指数の部分に書いた」のだから

\(3^{\log_{3}{81}} = 3^{\mbox{（3を81にする指数）}} = 81\)

となります。これを，「 \( \log_{3}{81} = 4\) だから…」と考えて

\(3^{\log_{3}{81}} = 3^{4} = 81\)

と，4という具体的な数値を経由しているようでは，例えば

\(3^{\log_{3}{5}} = 3^{\mbox{（3を5にする指数）}} = 5\)

とできないままなので，まだまだ \(\log\) の理解が浅いのです。しっかりと定義を理解しましょう！

　さらに，定義がきちんと理解できれば

\(\boldsymbol{\color{#ff0000} \log_{a^{k}}{P^{k}} = \log_{a}{P}}\)

という関係式が成り立つことも理解できるはずです。
　もちろん，「底の変換公式」を用いて変形すれば成り立つことが確認できますが，そんなことしなくてもダイレクトに意味を考えて分かるはずです。

　例えば，\(2^{5}\) を \(8^{5}\) にするためには何乗すればいいですか？
　これなら「5は関係なく，2を何乗すれば8になるかを考えればいい」と判断できる人も多いでしょう。つまり

\((2^{5})^{3} = (2^{3})^{5} = 8^{5}\)

\(\therefore\)（\(2^{5}\) を \(8^{5}\) にする指数）\(=\)（\(2\) を \(8\) にする指数）\(= 3\)

\(\therefore \log_{2^{5}}{8^{5}} = \log_{2}{8} = 3\)

ということです。

　対数の方程式や不等式を解くときには，底を揃えることが必要になります。
　そんなときに，上の変形ができると速くて見通しが良いので便利です♪

　例えば，\(\log_{2}(x-1) = \log_{4}(3x-5)\) という方程式を解くときには，真数条件「 \(x-1 \gt 0\) かつ \(3x-5 \gt 0\)」のもとで，多くの人が「底の変換公式」を利用することで右辺を

\(\log_{4}(3x-5) = \cfrac{\log_{2}(3x-5)}{\log_{2}{4}} = \cfrac{\log_{2}(3x-5)}{2}\)

と変形して

\(\begin{aligned}\log_{2}(x-1) = \log_{4}(3x-5)
& \Longleftrightarrow \log_{2}(x-1) = \frac{\log_{2}(3x-5)}{2} \\[5pt]
& \iff 2\log_{2}(x-1) = \log_{2}(3x-5) \\[5pt]
& \iff \log_{2}(x-1)^{2} = \log_{2}(3x-5) \\[5pt]
& \iff (x-1)^{2} = 3x-5
\end{aligned}\)

とする，「底を小さくする」手順をとります。しかし，左辺の底と真数をともに2乗することで

\(\log_{2}(x-1) = \log_{2^{2}}{(x-1)^{2}} = \log_{4}(x-1)^{2}\)

と考えて

\(\begin{aligned}
\log_{2}(x-1) = \log_{4}(3x-5)
  & \iff \log_{4}(x-1)^{2} = \log_{4}(3x-5) \\[5pt]
  & \iff (x-1)^{2} = 3x – 5
\end{aligned}\)

とする方が手数が少なくてラクなはずです！

　こういった工夫をウマくして，次の問題を手際よく解きましょう！

　スムーズに解けましたか？（解答例はこちら）

　そして，次の問題は，手続きの暗記に頼って数学を学習している人は苦労する問題です。

　対数の方程式・不等式では，まず真数条件を整理するものと覚えている人が多いでしょう。しかし，それにこだわってしまうと本問はメンドウです。
　そこで，真数条件の整理は一旦保留して先に進めてみると，光が見えてきます！（解答例はこちら）

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　第6回は以上です。
　どの関数でも，方程式・不等式を解くのは重要なテーマの1つです。各関数の定義を正しく理解して，歌うように解けるようにしておきましょう！
　さて，次回は「図形の眺め方」をとりあげてみようと思っています。お楽しみに♪