特集記事（高校）

　今回は『図形（幾何）』についてお話します。
　正弦定理や余弦定理，メネラウスの定理や方べきの定理などの定理・公式は覚えているけど，大問全体は解けなかったり時間がかかりすぎるという人が多いものです。
　そういう人は「定理・公式を当てはめること」ばかり考えていて，図形の眺め方の練習が不足していることが原因である可能性が高いのです。

7.1　垂線を下ろす

　まず，次の例題を解いてみてください。

　「テキトーに図を描いて，とりあえず余弦定理，次に面積公式に当てはめて…」とやった人が多いのではないでしょうか？
　もちろん，それでも結果の数値は得られますが，三角比の計算をはさむ分やや遅くなりがちだし，そもそも「どのような図か？」という図の把握ができていません。この程度の問題なら，図を把握できていなくとも答えられますが，例えばこの問題に続きがあって，後半で図を把握していることを要求されるようなら困ってしまいます。

　大山なら「 \(45^{\circ}\) と \(4\sqrt{2}\) 」という情報に注目して，次図のように垂線を下ろすことを優先します。

　点 \(\text{B}\) から辺 \(\text{CA}\) に下した垂線の足を \(\text{H}\) とすると，三角形 \(\text{ABH}\) は直角二等辺三角形になるから，\(\text{AH}:\text{HB}:\text{BA} = 1:1:\sqrt{2}\) となります。
　したがって，\(\text{AH} = 4\)，\(\text{BH} = 4\) なので，直角三角形 \(\text{BCH}\) の3辺の比が \(3:4:5\) になることが把握できます。ゆえに

　\(\text{BC} = \textbf{5},\quad \triangle\text{ABC} = \cfrac{1}{2}\cdot7\cdot4 = \textbf{14}\)

です。

　このように，与えられている角度の情報をウマく使うための補助線として引く垂線は，使えるタイミングがけっこう多いので，意識的に練習してみてください！
　というわけで，次の問題をどうぞ。

　高校数学の知識がゼロの状態でも解ける問題です。（解答例はこちら）

　では，次の問題はどうでしょうか？
　角度の情報は与えられていませんが…

　ウマく垂線を下ろせましたか？（解答例はこちら）

7.2　相似の利用

　方べきの定理は，三角形の相似から示すのが簡単です（違う方法もありますが）。

　この結果を丸暗記しているだけだと，例えば上の（図1）において，\(\text{AC}\) と \(\text{BD}\) の長さを使うべき問題で困ってしまうことがあります。
　だから，上の3パターンのいずれかの図形が与えられたら，「方べきの定理」を疑うのではなく，そもそもの三角形の相似を疑うことをオススメします！

　このことを踏まえて，次の問題をどうぞ！

　(3)は，方べきの定理だけでは解けません。（解答例はこちら）

　正五角形の対角線の長さを求める問題は頻出なのですが，初見ではやや難しいです。三角関数の加法定理を利用して計算で求める方法もありますが，三角形の相似から求める方が手数が少ないのでラクです。

　面積比の話も絡むので，やはり相似から攻めるのが得策でしたね。（解答例はこちら）

　第7回は以上です。
　高校数学の図形分野は計算方法の紹介に偏りがちですが，図形はやはり「その図形がどのような図形なのか」という図の把握が大切です。
　このことを意識して今後の勉強に取り組んでみてください！
　次回は「ベクトル」をとりあげてみようと思っています。お楽しみに♪