以前の連載記事『大山壇の入試問題Pick Up !』とテーマが重複することもあるかもしれませんが，主に高校生・大学受験生に向けた内容にしていきます。生徒のみなさんにとっての演習に，先生方にとっては日々の指導の参考に，少しでも役立てば幸いです。
前回に続いて第2回も「対称式」がテーマです。
基本的な対称式計算は前回確認したので，今回は文字が増えたり，対称式が関係する応用問題にチャレンジです。頑張ってみてください！
2.1 ３文字の対称式
前回は \(\alpha\) と \(\beta\) の2文字の対称式計算を扱いました。今回は3文字の対称式を扱いたいと思います。
3文字の場合の基本対称式は
\(\alpha+\beta+\gamma\)，\(\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\)，\(\quad \alpha\beta\gamma\)
の3つになります。つまり，3文字の対称式はこの3つの基本対称式の四則演算で表せるということです。
さて，3文字の対称式計算でよく使う公式を2つ紹介しておきましょう。
どちらも，左辺を展開・整理すれば右辺になるので，各自で確認してみてください。
なお，②を右辺から左辺に変形する(因数分解する)のも良い計算練習になります。大山は次のように変形しています。
まず（前回扱った）
\(\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) …… \((*)\)
を適用し，その後，順番を入れ替えて
\(\begin{aligned}& {\color{#0693e3}{\alpha^3 + \beta^3}}+ \gamma^3 – 3\alpha\beta\gamma \\[5pt]
&= {\color{#0693e3}{(\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha + \beta)}} + \gamma^3 – 3\alpha\beta\gamma \\[5pt]
&= (\alpha + \beta)^3 + \gamma^3 – 3\alpha\beta(\alpha + \beta) – 3\alpha\beta\gamma
\end{aligned}\)
とできます。さらに，\((\alpha+\beta)^{3}+\gamma^{3}\) の部分に再び \((*)\) を適用し，その後あれこれすると
\(\begin{aligned} & \alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3\alpha\beta\gamma \\[5pt]
& =(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)+\gamma^{3}-3\alpha\beta\gamma \\[5pt]
&= {\color{#0693e3}(\alpha+\beta)^{3}+\gamma^{3}}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)-3\alpha\beta\gamma \\[5pt]
&= {\color{#0693e3}\{(\alpha+\beta)+\gamma \} ^{3}-3(\alpha+\beta)\gamma \{(\alpha+\beta)+\gamma \} } -3\alpha\beta(\alpha+\beta)-3\alpha\beta\gamma \\[5pt]
&=(\alpha+\beta+\gamma)^{3}-3(\alpha+\beta)\gamma(\alpha+\beta+\gamma)-3\alpha\beta(\alpha+\beta+\gamma) \\[5pt]
&=(\alpha+\beta+\gamma) \{(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-3(\alpha+\beta)\gamma-3\alpha\beta\} \\[5pt]
&=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha-3\alpha\beta-3\beta\gamma-3\gamma\alpha) \\[5pt]
&=\boldsymbol{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)}\end{aligned}\)
となります。
では，上記の2つの公式を使う練習をしてみましょう。
(2)の \(a^{3}+b^{3}+c^{3}\) を，前回の2文字と同様に \((a+b+c)^{3}\) からツジツマを合わせようとすると，なかなかにメンドウです。そこで，上記の公式②が有効です♪
(3)の「存在しないこと」の証明には背理法が有効であることが多いので，まず「存在する」と仮定してみましょう。（解答例はこちら）
また，上の公式②に関連する問題として，このような出題もありました。
(1)(2)ともに
\(a^{3}+b^{3}-c^{3}+3abc=a^{3}+b^{3}+(-c)^{3}-3ab\cdot(-c)\)
と考えれば，公式②が使えますね♪（解答例はこちら）
2.2 対称式と方程式
前回と同様，\(\alpha，\beta，\gamma\) を解とする3次方程式 \(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\) を考えてみましょう。
方程式の両辺を \(a\) で割って
\(x^{3}+\cfrac{b}{a}x^{2}+\cfrac{c}{a}x+\cfrac{d}{a}=0\)
とでき，これの解が \(\alpha，\beta，\gamma\) なので，方程式の左辺は
\(x^{3}+\cfrac{b}{a}x^{2}+\cfrac{c}{a}x+\cfrac{d}{a}=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)
と因数分解でき，この右辺を展開することで
\(\begin{aligned} & x^{3}+\cfrac{b}{a}x^{2}+\cfrac{c}{a}x+\cfrac{d}{a} \\
& =x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\end{aligned} \)
という恒等式が成り立ちます。よって，係数を比較して
が成り立ちます。これが，3次方程式の解と係数の関係です。
前回も書いたように，大山はこれの丸暗記を推奨していません。上記のように因数分解から作れるように練習しておきましょう！
ところで，上記の内容から，方程式
\(x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0\)
の解が \(\alpha，\beta，\gamma\) なので
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)\alpha^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\alpha-\alpha\beta\gamma=0\\\beta^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)\beta^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\beta-\alpha\beta\gamma=0\\\gamma^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)\gamma^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\gamma-\alpha\beta\gamma=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}\)
すなわち
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha^{3}-\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)\alpha^{2}-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\alpha\\\beta^{3}-\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)\beta^{2}-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\beta\\\gamma^{3}-\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)\gamma^{2}-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\gamma\end{array} \right. \end{eqnarray}\)
が成り立ちます。この３式を加えることで
\(\begin{aligned} & {\color{#ff0000}\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3\alpha\beta\gamma} \\[5pt]
& =(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)(\alpha+\beta+\gamma) \\[5pt]
& =(\alpha+\beta+\gamma)\{(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\} \\[5pt]
& ={\color{#ff0000}(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)}\end{aligned} \)
と，2.1で紹介した公式を作ることができます♪
さて，前回同様
基本対称式の値が分かっていれば，\({\color{#0693e3}\boldsymbol{\alpha}}\) と \({\color{#0693e3}\boldsymbol{\beta}}\) と \({\color{#0693e3}\boldsymbol{\gamma}}\) を解とする3次方程式を作れる
ということなので，このことを利用するのが次のような問題です。
(2)では，直方体の3辺の長さを \(\alpha，\beta，\gamma\) とおき，体積を \(V\) とすれば，(1)を利用できることに気付けるはずです。ここで注意しなければいけないのが，「 \(\alpha，\beta，\gamma\) はすべて正の実数でなければいけない」ということです。（解答例はこちら）
そして，次の問題はこちら。
点 \((s+t，st)\) が動く領域の図示なので
\(X=s+t，Y=st\)
とおいて，\({\color{#0693e3}\boldsymbol{X}}\) と \({\color{#0693e3}\boldsymbol{Y}}\) の関係式を作ることが目標です。
しかし，ここで，見えている条件式 \(s^{2}+t^{2}\leqq6\) に飛びついて
\((s+t)^{2}-2st\leqq6\quad \therefore\quad X^{2}-2Y\leqq6\)
とするだけではダメなのです。例えば，点 \((0，1)\) は
\(0^{2}-2\cdot1=-2\leqq6\)
なので，条件 \(X^{2}-2Y\leqq6\) を満たしますが
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}s+t=0 \\ st=1\end{array} \right. \end{eqnarray}\)
とすると，\(s，t\) を解とする \(x\) の方程式が
\(x^{2}-0x+1=0\quad \therefore\quad x^{2}+1=0\)
となり，この解は \(x=\pm i\) なので実数ではありません。
つまり，適切な実数 \(\boldsymbol{s，t}\) が存在しないということになります。(1)は「気付いてね」という出題者のメッセージなのでしょう。
というわけで，\(X=s+t，Y=st\) という置き換えをしたときには（他にも色々な場合がありますが），実数 \(\boldsymbol{s，t}\) の存在条件を考える必要があるわけです。入試においては頻出なので，しっかりと理解しておきましょう！
一般的に，軌跡・領域を求めるときには，パラメータの存在条件を考えることが大切なのですが，それはまた別の機会にお話ししたいと思います。（解答例はこちら）
第2回は以上になります。前回より少しレベルの高い内容になっていましたが，理解できましたか？
次回は，「関数の最大・最小」について基本から確認したいと思います。それでは，また！
宇都宮北高校，東北大学理学部数学科卒。
2006年度から代々木ゼミナールの講師となり，現在は新宿本部校と札幌校に出講しています。対面・映像の授業の他にも，テキスト・模試・解答速報の作成なども行っています。
もっと毒をはいている大山を見たい方は，X（旧Twitter）をどうぞ！→ @dan_oyama_0206
《著書》
・『全国大学入試問題正解』（旺文社）解答執筆（京大，一橋大，東北大など）
・『整数 分野別標準問題精講』（旺文社）
・『全レベル問題集③』（旺文社）
・『全レベル問題集⑤』（旺文社）
・『大山壇の基本から身につける計算力IA』（KADOKAWA）
・『大山壇の基本から身につける計算力IIB』（KADOKAWA）
その他のコンテンツ