以前の連載記事『大山壇の入試問題Pick Up !』とテーマが重複することもあるかもしれませんが，主に高校生・大学受験生に向けた内容にしていきます。生徒のみなさんにとっての演習に，先生方にとっては日々の指導の参考に，少しでも役立てば幸いです。
今回は『整数問題』です。教科書からは『整数の性質』という単元は消えてしまいましたが，入試での出題は続いています。
典型的な問題の考え方はしっかりと抑えておいた方が良いでしょう。（なお，『数学と人間の活動』が内容を引き継いでいます。）
11.1 正の約数の個数と総和
例えば，12を素因数分解すると，\(12=2^2\cdot3\) とできるので，12の正の約数は \(\boldsymbol{2^x \cdot 3^y}\) という形をしているはずです。ただし，\(x\) は0，1，2の3通り，\(y\) は0，1の2通りの値をとります。
よって，この \(x,\ y\) の組は \(3\cdot2=6\)（組）あるから，12の正の約数の個数は6個ということになります。
これは次表のようにイメージすると，\(2^x\) と \(3^y\) の組が6組であることが分かりやすいでしょう。
また，この表に出てくる約数はすべて
\((2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)\)
を展開したときに項として現れて，すべてが「＋」で繋がるので，12の正の約数の総和は
\((2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)=7\cdot4=28\)
です。
もちろん，この程度なら正の約数を全部書き並べても求められますが，仕組みが分かればもっと大きい数や文字で表された抽象的な問題にも対応できます。
なお，\(2^{0}+2^{1}+2^{2}\) と \(3^{0}+3^{1}\) のそれぞれは等比数列と考えられるので，等比数列の和の公式を利用して計算することもできます。
さて，この「仕組み」を理解しているかどうかが試される基本的な問題がこちらです。
特に(2)は，公式のように解き方を丸暗記しただけの人と，「仕組み」を理解している人とで差がつくでしょう。（解答例はこちら）
次は，同じテーマですが，もう少しレベルの高い問題です。
(3)が少しレベル高いですね。答案では「他の可能性がないこと」をきちんと論証しておきたいです。（解答例はこちら）
余談ですが，上の問題と同様に，正の整数 \(n\) に対して，\(n\) の正の約数の総和を \(s(n)\) とするとき，\(\boldsymbol{s(n)=2n}\) が成り立つ \(n\) のことを完全数と言います。
具体的には，小さい方から順に
- \(\boldsymbol{6}\)：正の約数は1，2，3，6の4個で，その総和は
\(1+2+3+6=12=2\cdot 6\)
- \(\boldsymbol{28}\)：正の約数は1，2，4，7，14，28の6個で，その総和は
\(1+2+4+7+14+28=56=2\cdot 28\)
などがあります。
さらに大きいものは，496，8128，33550336，…となります。
紀元前から「6，28，496，8128」の4つが完全数であることは知られていたようです。そんな大昔から今現在に至るまで考察の対象であり続けていますが，「偶数の完全数は無数に存在するか」「奇数の完全数は存在するか」という問題は未解決です。
11.2 積を作る
整数の方程式を解くとき，目標の形の一つは積＝具体的な整数です。
例えば，\(xy=3\) を満たす「実数」\(x,\ y\) は
\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}4\\\cfrac{3}{4}\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-\sqrt{3}\\-\sqrt{3}\end{pmatrix},\ \dots\)
などと無数に存在します。
しかし，「整数」\(x,\ y\) なら
\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}\)
の4組ですべてです。
3の約数が全部で1，3，－1，－3の4個なので，これらをすべて拾い上げていると考えられるので「4組ですべて」と言えるのです。
さて，まずは基本的な問題で確認です。
別解のように「\(x\) についての2次方程式」と見て考える方法も定番なので，おさえておくと良いでしょう。（解答例はこちら）
そして，解が何組あるかを「正の約数の個数」に帰着させる考え方を使う，少しレベルの高い問題が次です。
解答後半の論証まで正確に自力でできる人は，自信をもってイイと思いますよ。（解答例はこちら）
第11回は以上です。
『整数』を相棒にできるよう頑張りましょう！
次回も今回に続いて「整数問題」です。お楽しみに♪
宇都宮北高校，東北大学理学部数学科卒。
2006年度から代々木ゼミナールの講師となり，現在は新宿本部校と札幌校に出講しています。対面・映像の授業の他にも，テキスト・模試・解答速報の作成なども行っています。
もっと毒をはいている大山を見たい方は，X（旧Twitter）をどうぞ！→ @dan_oyama_0206
《著書》
・『全国大学入試問題正解』（旺文社）解答執筆（京大，一橋大，東北大など）
・『整数 分野別標準問題精講』（旺文社）
・『全レベル問題集③』（旺文社）
・『全レベル問題集⑤』（旺文社）
・『大山壇の基本から身につける計算力IA』（KADOKAWA）
・『大山壇の基本から身につける計算力IIB』（KADOKAWA）
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