特集記事（高校）

長崎大学 教授
中川 幸久 先生

第3回　講義

（第2回はこちら）

講義のねらい

【実際の算出法と連鎖探索法】

　第1回講義では，横1列に並ぶタイルの対角線でつくる鋭角の和が \(\frac{\pi}{4}\) になる場合を，タイルの個数を2つ，3つ，4つと増やしながら代数的な解法で算出した。
　第2回講義では，連鎖探索法によって，連鎖的に角を分解した。
　今回，第3回講義では，実際に算出した方法と連鎖探索法による方法との比較を行う。
　実際に算出するとすべて網羅できるが，計算が極めて難しい。一方，連鎖探索法は，角を素早く分解できるが，連鎖の分かれ方によっては，すべてを網羅できないことが分かった。 この講義では，詳しくその違いを考察する。

4.実際の算出法と連鎖探索法

 　\(\theta = \frac{\pi}{4}\) を，実際に算出して4つまでの三角形の鋭角の角の和で表すと，全部で以下の19通りである。

（ア）
(算出1) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\)

（イ）
(算出2) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(13, 1)\)
(算出3) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+(8, 1)\)
(算出4) \(\hspace{8px}(1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(7, 1)\)

（ウ）
(算出5) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(14, 1)+(183, 1)\)
(算出6) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(15, 1)+(98, 1)\)
(算出7) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(18, 1)+(47, 1)\)
(算出8) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(23, 1)+(30, 1)\)
(算出9) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+(9, 1)+(73, 1)\)
(算出10) \((1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+(13, 1)+(21, 1)\)
(算出11) \((1, 1)=(2, 1)+(6, 1)+(7, 1)+(68, 1)\)　…連鎖法では現れない
(算出12) \((1, 1)=(2, 1)+(6, 1)+(8, 1)+(31, 1)\)
(算出13) \((1, 1)=(2, 1)+(7, 1)+(8, 1)+(18, 1)\)
(算出14) \((1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(8, 1)+(57, 1)\)
(算出15) \((1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(9, 1)+(32, 1)\)
(算出16) \((1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(12, 1)+(17, 1)\)
(算出17) \((1, 1)=(3, 1)+(4, 1)+(5, 1)+(47, 1)\)　…連鎖法では現れない
(算出18) \((1, 1)=(3, 1)+(4, 1)+(7, 1)+(13, 1)\)
(算出19) \((1, 1)=(3, 1)+(5, 1)+(7, 1)+(8, 1)\)

　一方，\(\theta = \frac{\pi}{4}\) を連鎖探索法で4つまでの三角形の鋭角の角の和で表すと，全部で以下の20通りである。

\((1, 1)\)
\(1^2+1^2=2\) → \((1, 2)\) より
\((1, 1)=\)\((2, 1)\)\(+\)\((3, 1)\)　…(連鎖1)

(連鎖1)より
\((1, 1)=(2, 1)+\)\((3, 1)\)
\(3^2+1^2=10\) → \((1, 10), (2, 5)\) より
\(\hspace{50px}=(2, 1)+\)\((4, 1)+(13, 1)\)　…(連鎖2)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+\)\((5, 1)+(8, 1)\)　…(連鎖3)

\((1, 1)=\)\((2, 1)\)\(+(3, 1)\)
\(2^2+1^2=5\) → \((1, 5)\) より
\(\hspace{50px}=\)\((3, 1)+(7, 1)\)\(+(3, 1)\)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(3, 1)+(7, 1)\)　…(連鎖4)

(連鎖2)より
\((1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+\)\((13, 1)\)
\(13^2+1^2=170\) → \((1, 170), (2, 85), (5, 34), (10, 17)\) より
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(4, 1)+\)\((14, 1)+(183, 1)\)　…(連鎖5)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(4, 1)+\)\((15, 1)+(98, 1)\)　…(連鎖6)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(4, 1)+\)\((18, 1)+(47, 1)\)　…(連鎖7)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(4, 1)+\)\((23, 1)+(30, 1)\)　…(連鎖8)

\((1, 1)=(2, 1)+\)\((4, 1)\)\(+(13, 1)\)
\(4^2+1^2=17\) → \((1, 17)\) より
\(\hspace{50px}=(2, 1)+\)\((5, 1)+(21, 1)\)\(+(13, 1)\)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(5, 1)+(13, 1)+(21, 1)\)　…(連鎖9)=(連鎖12)

\((1, 1)=\)\((2, 1)\)\(+(4, 1)+(13, 1)\)
\(2^2+1^2=5\) → \((1, 5)\) より
\(\hspace{50px}=\)\((3, 1)+(7, 1)\)\(+(4, 1)+(13, 1)\)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(4, 1)+(7, 1)+(13, 1)\)　…(連鎖10)=(連鎖18)

(連鎖3)より
\((1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+\)\((8, 1)\)
\(8^2+1^2=65\) → \((1, 65), (5, 13)\) より
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(5, 1)+\)\((9, 1)+(73, 1)\)　…(連鎖11)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(5, 1)+\)\((13, 1)+(21, 1)\)　…(連鎖12)

\((1, 1)=(2, 1)+\)\((5, 1)\)\(+(8, 1)\)
\(5^2+1^2=26\) → \((1, 26), (2, 13)\) より
\(\hspace{50px}=(2, 1)+\)\((6, 1)+(31, 1)\)\(+(8, 1)\)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(6, 1)+(8, 1)+(31, 1)\)　…(連鎖13)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+\)\((7, 1)+(18, 1)\)\(+(8, 1)\)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(7, 1)+(8, 1)+(18, 1)\)　…(連鎖14)

\((1, 1)=\)\((2, 1)\)\(+(5, 1)+(8, 1)\)
\(2^2+1^2=5\) → \((1, 5)\) より
\(\hspace{50px}=\)\((3, 1)+(7, 1)\)\(+(5, 1)+(8, 1)\)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(5, 1)+(7, 1)+(8, 1)\)　…(連鎖15)

(連鎖4)より
\((1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+\)\((7, 1)\)
\(7^2+1^2=50\) → \((1, 50), (2, 25), (5, 10)\) より
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(3, 1)+\)\((8, 1)+(57, 1)\)　…(連鎖16)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(3, 1)+\)\((9, 1)+(32, 1)\)　…(連鎖17)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(3, 1)+\)\((12, 1)+(17, 1)\)　…(連鎖18)

\((1, 1)=(3, 1)+\)\((3, 1)\)\(+(7, 1)\)
\(3^2+1^2=10 \) → \((1, 10), (2, 5)\) より
\(\hspace{50px}=(3, 1)+\)\((4, 1)+(13, 1)\)\(+(7, 1)\)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(4, 1)+(7, 1)+(13, 1)\)　…(連鎖19)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+\)\((5, 1)+(8, 1)\)\(+(7, 1)\)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+(5, 1)+(7, 1)+(8, 1)\)　…(連鎖20)

　連鎖法で求めた結果を順に並べると，以下のように全部で20通りあるが，(連鎖9)と(連鎖12)，(連鎖10)と(連鎖18)，(連鎖15)と(連鎖19)は同じであるから，2つに分かれる連鎖法では17通りである。

(連鎖1) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\)　…(算出1)
(連鎖2) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(13, 1)\)　…(算出2)
(連鎖3) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+(8, 1)\)　…(算出3)
(連鎖4) \(\hspace{8px}(1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(7, 1)\)　…(算出4)
(連鎖5) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(14, 1)+(183, 1)\)　…(算出5)
(連鎖6) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(15, 1)+(98, 1)\)　…(算出6)
(連鎖7) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(18, 1)+(47, 1)\)　…(算出7)
(連鎖8) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(4, 1)+(23, 1)+(30, 1)\)　…(算出8)
(連鎖9) \(\hspace{8px}(1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+(13, 1)+(21, 1)\)　…(算出10)
(連鎖10) \((1, 1)=(3, 1)+(4, 1)+(7, 1)+(13, 1)\)　…(算出18)
(連鎖11) \((1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+(9, 1)+(73, 1)\)　…(算出9)
(連鎖12) \((1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+(13, 1)+(21, 1)\)　…(算出10)
(連鎖13) \((1, 1)=(2, 1)+(6, 1)+(8, 1)+(31, 1)\)　…(算出12)
(連鎖14) \((1, 1)=(2, 1)+(7, 1)+(8, 1)+(18, 1)\)　…(算出13)
(連鎖15) \((1, 1)=(3, 1)+(5, 1)+(7, 1)+(8, 1)\)　…(算出19)
(連鎖16) \((1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(8, 1)+(57, 1)\)　…(算出14)
(連鎖17) \((1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(9, 1)+(32, 1)\)　…(算出15)
(連鎖18) \((1, 1)=(3, 1)+(3, 1)+(12, 1)+(17, 1)\)　…(算出16)
(連鎖19) \((1, 1)=(3, 1)+(4, 1)+(7, 1)+(13, 1)\)　…(算出18)
(連鎖20) \((1, 1)=(3, 1)+(5, 1)+(7, 1)+(8, 1)\)　…(算出19)

　なお, 実際に算出した
(算出11) \((1, 1)=(2, 1)+(6, 1)+(7, 1)+(68, 1)\)
(算出17) \((1, 1)=(3, 1)+(4, 1)+(5, 1)+(47, 1)\)
については， 連鎖探索法では表現されていない。

(1) (連鎖9)と(連鎖12)について

(連鎖2)より
\((1, 1)=(2, 1)+\)\((4, 1)\)\(+(13, 1)\)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+\)\((5, 1)\)\(+(13, 1)+\)\((21, 1)\)　…(連鎖9)

(連鎖3)より
\((1, 1)=(2, 1)+(5, 1)+\)\((8, 1)\)
\(\hspace{50px}=(2, 1)+(5, 1)+\)\((13, 1)\)\(+\)\((21, 1)\)　…(連鎖12)

(2) (連鎖10)と(連鎖18)について

(連鎖2)より
\((1, 1)=\)\((2, 1)\)\(+(4, 1)+(13, 1)\)
\(\hspace{50px}=\)\((3, 1)\)\(+(4, 1)+\)\((7, 1)\)\(+(13, 1)\)　…(連鎖10)

(連鎖4)より
\((1, 1)=(3, 1)+\)\((3, 1)\)\(+(7, 1)\)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+\)\((4, 1)\)\(+(7, 1)+\)\((13, 1)\)　…(連鎖18)

(3) (連鎖15)と(連鎖19)について

(連鎖3)より
\((1, 1)=\)\((2, 1)\)\(+(5, 1)+(8, 1)\)
\(\hspace{50px}=\)\((3, 1)\)\(+(5, 1)+\)\((7, 1)\)\(+(8, 1)\)　…(連鎖15)

(連鎖4)より
\((1, 1)=\)\((3, 1)\)\(+(3, 1)+(7, 1)\)
\(\hspace{50px}=(3, 1)+\)\((5, 1)\)\(+(7, 1)+\)\((8, 1)\)　…(連鎖19)

　このように，全く異なるタイプから結果的に一致することがある。

(算出11) \((1, 1)=(2, 1)+(6, 1)+(7, 1)+(68, 1)\) の場合

3つ目から4つ目へ分岐するときの3つ目を \((n, 1)\) とすると
 \((n, 1)=(n+x, 1)+(n+y, 1)\)　 \((1 \leqq x \leqq y)\)
に分かれることになる。
ただし　\(n^2+1=xy\)
仮に，\(n+x=2\) とすると \(n=1, x=1\) 以外になく，\((1, 1)\) が3つ目であるのは不適である。
したがって　\(n+x \gt 2\)

(1) \(n+x=6\) のとき

　(i) \((n, 1)=(6, 1)+(7, 1)\) のとき
　\(n+x=6, n+y=7\)
　\(xy=n^2+1=(6-n)(7-n)\)
　\(13n=41\)
　\(n=\frac{41}{13}\) （不適）

　(ii) \((n, 1)=(6, 1)+(68, 1)\) のとき
　\(n+x=6, n+y=68\)
　\(xy=n^2+1=(6-n)(68-n)\)
　\(74n=407\)
　\(n=\frac{407}{74}\)　（不適）

(2) \(n+x=7\) のとき
　\((n, 1)=(7, 1)+(68, 1)\) のとき
　\(n+x=7, n+y=68\)
　\(xy=n^2+1=(7-n)(68-n)\)
　\(75n=475\)
　\(n=\frac{19}{3}\)　（不適）

　つまり，2つに分かれる連鎖法では，

(算出11) \((1, 1)=(2, 1)+(6, 1)+(7, 1)+(68, 1)\) は表現できない。

　同様に，

(算出17) \((1, 1)=(3, 1)+(4, 1)+(5, 1)+(47, 1)\) も表現できない。

（資料3―①）

　したがって，実際に算出する場合と連鎖探索法による場合とでは，連鎖探索法が極めて速く導くことができる利点があるが，重複する場合がある。
　また，2つに分かれる連鎖探索法では表現できない場合もある。

\(\tan\theta = \frac{1}{n}(n \geqq 1), \tan\theta_1 =\frac{1}{n+x}, \tan\theta_2 =\frac{1}{n+y}, \tan\theta_3=\frac{1}{n+z}\)

\((1 \leqq x \leqq y \leqq z)\)　(\(n, x, y, z\) は整数) とする。

\(\theta=\theta_1+\theta_2+\theta_3\)

\(\tan\theta=\tan(\theta_1+\theta_2+\theta_3)=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2+\tan\theta_3-\tan\theta_1\tan\theta_2\tan\theta_3}{1-(\tan\theta_1\tan\theta_2+\tan\theta_2\tan\theta_3+\tan\theta_3\tan\theta_1)}\)

\(\frac{1}{n}=\dfrac{\frac{1}{n+x}+\frac{1}{n+y}+\frac{1}{n+z}-\frac{1}{n+x}\cdot\frac{1}{n+y}\cdot\frac{1}{n+z}}{1-\{\frac{1}{(n+x)(n+y)}+\frac{1}{(n+y)(n+z)}+\frac{1}{(n+z)(n+x)}\}}\)

\(\frac{1}{n}=\frac{(n+y)(n+z)+(n+x)(n+z)+(n+y)(n+z)-1}{(n+x)(n+y)(n+z)-\{(n+z)+(n+y)+(n+x)\}}\)

\(2n^3+(x+y+z)n^2+2n=xyz-(x+y+z)\)

\(2n(n^2+1)+(x+y+z)(n^2+1)=xyz\)

\((n^2+1)\{2n+(x+y+z)\}=xyz\)　…(※)

　\((1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\) において，\((2, 1)\) を3つに分解することを考える。

\(n=2\) のとき，(※)は　\(5(4+x+y+z)=xyz\)

\(x=2, y=3, z=45\) は，(左辺)\(=270\)，(右辺)\(=270\) となり解になっている。

　このとき，\((2, 1)=(4, 1)+(5, 1)+(47, 1)\) に分解され，

(算出17) \((1, 1)=(3, 1)+(4, 1)+(5, 1)+(47, 1)\) は3つに分解される連鎖探索法で表現される。

（資料3―②）

　同様に，\((3, 1)\) を3つに分解することを考える。

\(n=3\) のとき，(※)は　\(10(6+x+y+z)=xyz\)

\(x=3, y=4, z=65\) は，(左辺)\(=780\)，(右辺)\(=780\) となり解になっている。

　このとき，\((3, 1)=(6, 1)+(7, 1)+(68, 1)\) に分解され

(算出11) \((1, 1)=(2, 1)+(6, 1)+(7, 1)+(68, 1)\) は3つに分解される連鎖探索法で表現される。

（資料3―③）

\((p, 1)+(q, 1)=(n, 1)\) とする。

\(p=n+x, q=n+y\) とすると \(xy=n^2+1\) より

　\((p-n)(q-n)=n^2+1\)

　\(n^2-(p+q)n+pq=n^2+1\)

　\(n=\frac{pq-1}{p+q}\)

(例) \((3, 1)+(7, 1)=(n, 1)\)

　\(n=\frac{3\cdot 7-1}{3+7}=\frac{20}{10}=2\)

　つまり　\((3, 1)+(7, 1)=(2, 1)\)

(例) \((5, 1)+(8, 1)=(n, 1)\)

　\(n=\frac{5\cdot 8-1}{5+8}=\frac{39}{13}=3\)

　つまり　\((5, 1)+(8, 1)=(3, 1)\)

【まとめ】

 　\(n=\frac{pq-1}{p+q}\) より, 自然数 \(n\) が存在するとき, 和の合成ができる。

　（第4回につづく）

【講師】