特集記事（高校）

長崎大学 教授
中川 幸久 先生

第2回　講義

（第1回はこちら）

講義のねらい

【連鎖探索法】

　第1回講義では，横1列に並ぶタイルの対角線でつくる鋭角の和が \(\frac{\pi}{4}\) になる場合を代数的に導き出したが，実際に解くと，非常に煩雑であり時間もかかる。
　ここで紹介する連鎖探索法とは，名前の通り連鎖的に角を分解しながら表現する方法で，極めて素早く分解することが可能である。みなさんと一緒に，その有用性を検証したい。
　また，連鎖探索法では，直角を挟む2辺の平方の和によって様々な形で表現されるが，特に1通りしか表現できない場合について，整理してみたい。

3.連鎖探索法

\(\tan \theta = \frac{1}{n}(n \geqq 1), \tan \theta _1=\frac{1}{n+x}, \tan \theta _2=\frac{1}{n+y}(1 \leqq x \leqq y)\)（\(n\)，\(x\)，\(y\) は整数）とする。

\(\theta = \theta _1 + \theta _2\) のとき

\(\tan \theta = \tan (\theta _1 + \theta _2) = \frac{\tan \theta _1 + \tan \theta _2}{1- \tan \theta _1\tan \theta _2}\)

\(\frac{1}{n} = \dfrac{\frac{1}{n+x}+\frac{1}{n+y}}{1 -\frac{1}{(n+x)(n+y)}}\)

\(\frac{1}{n} = \frac{2n+(x+y)}{(n+x)(n+y)-1}\)

\(2n^2+(x+y)n=n^2+(x+y)n-1+xy\)

\(n^2+1=xy\)

逆に，\(n^2+1=xy\) であれば

\(\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}\)

\(\hspace{107px} = \frac{2n+(x+y)}{(n+x)(n+y)-1}\)

\(\hspace{107px} = \frac{2n+(x+y)}{n^2+(x+y)n+xy-1}\)

\(\hspace{107px} = \frac{2n+(x+y)}{2n^2+(x+y)n} = \frac{1}{n} = \tan\theta\)

\(\theta，\theta_1，\theta_2\) は鋭角だから，\(\theta=\theta_1+ \theta_2\) が成り立つ。

特に，\(n=1\) のときは　\(\theta=\frac{\pi}{4}\)

このとき　\(xy=2\)
　\(x=1\)，\(y=2\)
つまり　\(n+x=1+1=2\)，\(n+y=1+2=3\)

正接が \(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{3}\) のとき，2つの角の和は \(\frac{\pi}{4}\) となる。

前述のように，これを \((1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\) と表すことにする。

　連鎖探索法は，ある自然数 \(n\)，\(\tan\theta=\frac{1}{n}\) のタイプの直角三角形について，\(n^2+1=xy\) を満たす \(x\)，\(y\) を定め

\(\tan\theta_1=\frac{1}{n+x} , \tan\theta_2=\frac{1}{n+y}(\theta=\theta_1+\theta_2)\)

とする2つの直角三角形の分解する方法である。
　したがって，\(n^2+1\) の約数から，2つの数の組 \((x, y)\) を定めれば

\((n, 1)＝(n+x, 1)+(n+y, 1)\)

と容易に表すことができる。

【例】\((2, 1)\) の直角三角形
　\(n^2+1=2^2+1=xy\)
　\((x, y)=(1, 5)\)
つまり　(2, 1)＝(3, 1)＋(7, 1)

【例】\((3, 1)\) の直角三角形
　\(n^2+1=3^2+1=xy\)
　\((x, y)=(1, 10), (2, 5)\)
(i) \((x, y)=(1, 10)\) のとき
つまり　\((3, 1)=(4, 1)+(13, 1)\)
(ii) \((x, y)=(2, 5)\) のとき
つまり　\((3, 1)=(5, 1)+(8, 1)\)

\(\tan\theta=\frac{p}{n}(n \geqq 1), \tan\theta_1=\frac{p}{n+x}, \tan\theta_2=\frac{p}{n+y}(0 \leqq x \leqq y)\)（\(n\)，\(x\)，\(y\)，\(p\) は整数）とする。

\(\theta=\theta_1+\theta_2\) のとき

\(\tan \theta = \tan (\theta _1 + \theta _2) = \frac{\tan \theta _1 + \tan \theta _2}{1- \tan \theta _1\tan \theta _2}\)

\(\frac{p}{n}=\dfrac{\frac{p}{n+x}+\frac{p}{n+y}}{1-\frac{p^2}{(n+x)(n+y)}}\)

\(\frac{1}{n}=\dfrac{\frac{1}{n+x}+\frac{1}{n+y}}{1-\frac{p^2}{(n+x)(n+y)}}\)

\(\hspace{22px}=\frac{(n+y)+(n+x)}{(n+x)(n+y)-p^2}\)

\((n+x)(n+y)-p^2=n\{2n+(x+y)\}\)

\(n^2+(x+y)n+xy-p^2=2n^2+(x+y)n\)

\(xy=n^2+p^2\)

逆も成り立つ。
つまり，\((x, y)\) は，\(n^2+p^2\) の約数を定めればよい。
少なくとも \(x=1\)，\(y=n^2+p^2\) は約数の1組であるから
\((n, p)=(n+1, p)+(n+n^2+p^2, p)\) と表現できる。

【例】\((1, 2)\) の直角三角形
\((1, 2)\) は　\(n=1\)，\(p=2\)
　\(xy=1^2+2^2=5\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 5)\)
よって　\((1, 2)=(2, 2)+(6, 2)=(1, 1)+(3, 1)\)

ここで，\((3, 1)\) は　\(n=3\)，\(p=1\)
　\(xy=3^2+1^2=10\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 10), (2, 5)\)
(i) \((x, y)=(1, 10)\) のとき
　\((3, 1)=(4, 1)+(13, 1)\)
つまり　\((1, 2)=(1, 1)+(4, 1)+(13, 1)\)
(ii) \((x, y)=(2, 5)\) のとき
　\((3, 1)=(5, 1)+(8, 1)\)
つまり　\((1, 2)=(1, 1)+(5, 1)+(8, 1)\)

【まとめ】

　このように，高さ2の直角三角形においても連鎖的に，いくつの直角三角形の和として表すことができる。

\(\tan\theta=\frac{p}{n}(n \geqq 1), \tan\theta_1=\frac{p}{n+x}, \tan\theta_2=\frac{p}{n+y}(0 \leqq x \leqq y)\) とする。

\(\theta = \theta_1 + \theta_2\) のとき　\(xy=n^2+p^2\)

(1)　\((5, 1)\) は　\(n=5\)，\(p=1\)
　\(xy=5^2+1^2=26\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)＝(1, 26), (2, 13)\)
(i) \((x, y)=(1, 26)\) のとき
　\((5, 1)=(5+1, 1)+(5+26, 1)\)
つまり　\((5, 1)=(6, 1)+(31, 1)\)
(ii) \((x, y)=(2, 13)\) のとき
　\((5, 1)=(5+2, 1)+(5+13, 1)\)
つまり　\((5, 1)=(7, 1)+(18, 1)\)

(2)　\((6, 1)\) は　\(n=6\)，\(p=1\)
　\(xy=6^2+1^2=37\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 37)\)
\((x, y)=(1, 37)\) のとき
　\((6, 1)=(6+1, 1)+(6+37, 1)\)
つまり　\((6, 1)=(7, 1)+(43, 1)\)

(3)　\((4, 2)\) は　\(n=4\)，\(p=2\)
　\(xy=4^2+2^2=20\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 20), (2, 10), (4, 5)\)
(i) \((x, y)=(1, 20)\) のとき
　\((4, 2)=(4+1, 2)+(4+20, 2)\)
つまり　\((4, 2)=(5, 2)+(24, 2)\)
(ii) \((x, y)=(2, 10)\) のとき
　\((4, 2)=(4+2, 2)+(4+10, 2)\)
つまり　\((4, 2)=(6, 2)+(14, 2)\)
(iii) \((x, y)=(4, 5)\) のとき
　\((4, 2)=(4+4, 2)+(4+5, 2)\)
つまり　\((4, 2)=(8, 2)+(9, 2)\)

(4)　\((2, 4)\) は　\(n=2\)，\(p=4\)
　\(xy=2^2+4^2=20\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 20), (2, 10), (4, 5)\)
(i) \((x, y)=(1, 20)\) のとき
　\((2, 4)=(2+1, 4)+(2+20, 4)\)
つまり　\((2, 4)=(3, 4)+(22, 4)\)
(ii) \((x, y)=(2, 10)\) のとき
　\((2, 4)=(2+2, 4)+(2+10, 4)\)
つまり　\((2, 4)=(4, 4)+(12, 4)\)
(iii) \((x, y)=(4, 5)\) のとき
　\((2, 4)=(2+4, 4)+(2+5, 4)\)
つまり　\((2, 4)=(6, 4)+(7, 4)\)

(1)　\((1, 1)\) は　\(n=1\)，\(p=1\)
 \(xy=1^2+1^2=2\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 2)\)
\((x, y)=(1, 2)\) のとき
　\((1, 1)=(1+1, 1)+(1+2, 1)\)
つまり　\((1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\)

(2)　\((2, 2)\) は　\(n=2\)，\(p=2\)
　\(xy=2^2+2^2=8\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 8), (2, 4)\)
(i) \((x, y)=(1, 8)\) のとき
　\((2, 2)=(2+1, 2)+(2+8, 2)\)
つまり　\((2, 2)=(3, 2)+(10, 2)\)
(ii) \((x, y)=(2, 4)\) のとき
　\((2, 2)=(2+2, 2)+(2+4, 2)\)
つまり　\((2, 2)=(4, 2)+(6, 2)\)　← \((1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\) と同じ。

(3)　\((3, 3)\) は　\(n=3\)，\(p=3\)
　\(xy=3^2+3^2=18\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 18), (2, 9), (3, 6)\)
(i) \((x, y)=(1, 18)\) のとき
　\((3, 3)=(3+1, 3)+(3+18, 3)\)
つまり　\((3, 3)=(4, 3)+(21, 3)\)
(ii) \((x, y)=(2, 9)\) のとき
　\((3, 3)=(3+2, 3)+(3+9, 3)\)
つまり　\((3, 3)=(5, 3)+(12, 3)\)
(iii) \((x, y)=(3, 6)\) のとき
　\((3, 3)=(3+3, 3)+(3+6, 3)\)
つまり　\((3, 3)=(6, 3)+(9, 3)\)　← \((1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\) と同じ。

(4)　\((4, 4)\) は　\(n=4\)，\(p=4\)
　\(xy=4^2+4^2=32\)
\(x \leqq y\) より　\((x, y)=(1, 32), (2, 16), (4, 8)\)
(i) \((x, y)=(1, 32)\) のとき
　\((4, 4)=(4+1, 4)+(4+32, 4)\)
つまり　\((4, 4)=(5, 4)+(36, 4)\)
(ii) \((x, y)=(2, 16)\) のとき
　\((4, 4)=(4+2, 4)+(4+16, 4)\)
つまり　\((4, 4)=(6, 4)+(20, 4)\)　← \((2, 2)=(3, 2)+(10, 2)\) と同じ。
(iii) \((x, y)=(4, 8)\) のとき
　\((4, 4)=(4+4, 4)+(4+8, 4)\)
つまり　\((4, 4)=(8, 4)+(12, 4)\)　← \((1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\) と同じ。

【整理】
　直角を挟む2辺の比が同じでも様々に表現される。

　\(xy=n^2+p^2\)（\(1 \leqq x \leqq y\)）
\((x, y)\) が1通りしかない場合は，\(n^2+p^2\) が素数になるときである。
この場合　\(x=1\)，\(y＝n^2+p^2\)

\(\boldsymbol{(n, p)=(n+1, p)+(n+n^2+p^2, p)}\)

（資料2－①）

　\(n^2+p^2\) が素数になれば，連鎖探索法によって2つの角の和に表すとき，ただ1通りしかない。

(1)　\(\hspace{8px}xy=1^2+1^2=2\)　よって　\(x=1\)，\(y=2\)　\((1, 1)=(2, 1)+(3, 1)\)
(2)　\(\hspace{8px}xy=1^2+2^2=5\)　よって　\(x=1\)，\(y=5\)　\((1, 2)=(2, 2)+(6, 2)\)
(3)　\(\hspace{8px}xy=2^2+3^2=13\)　よって　\(x=1\)，\(y=13\)　\((2, 3)=(3, 3)+(15, 3)\)
(4)　\(\hspace{8px}xy=1^2+4^2=17\)　よって　\(x=1\)，\(y=17\)　\((1, 4)=(2, 4)+(18, 4)\)
(5)　\(\hspace{8px}xy=2^2+5^2=29\)　よって　\(x=1\)，\(y=29\)　\((2, 5)=(3, 5)+(31, 5)\)
(6)　\(\hspace{8px}xy=1^2+6^2=37\)　よって　\(x=1\)，\(y=37\)　\((1, 6)=(2, 6)+(38, 6)\)
(7)　\(\hspace{8px}xy=4^2+5^2=41\)　よって　\(x=1\)，\(y=41\)　\((4, 5)=(5, 5)+(45, 5)\)
(8)　\(\hspace{8px}xy=2^2+7^2=53\)　よって　\(x=1\)，\(y=53\)　\((2, 7)=(3, 7)+(55, 7)\)
(9)　\(\hspace{8px}xy=5^2+6^2=61\)　よって　\(x=1\)，\(y=61\)　\((5, 6)=(6, 6)+(66, 6)\)
(10)　\(xy=3^2+8^2=73\)　よって　\(x=1\)，\(y=73\)　\((3, 8)=(4, 8)+(76, 8)\)
(11)　\(xy=5^2+8^2=89\)　よって　\(x=1\)，\(y=89\)　\((5, 8)=(6, 8)+(94, 8)\)
(12)　\(xy=4^2+9^2=97\)　よって　\(x=1\)，\(y=97\)　\((4, 9)=(5, 9)+(101, 9)\)

【整理】
　\(xy=n^2+p^2\) の値が素数の場合，1通りの分け方しかない。

　（第3回につづく）

【講師】