前回，犯人は容疑者として特定され，刑事に尾行されました。そもそも容疑者になった理由は凶器が発見されたからです。海に投げ捨てられたはずの凶器はなぜ見つかったのでしょうか。それを解析するために，今回は運動方程式について考えます。少し話が逸れますが，車は急に止まれないことを，運動方程式を用いて理解します。
【疑問】なぜ「車は急に止まれない」といわれるのでしょうか。
【速度ベクトルと加速度ベクトル】
\(xy\) 座標平面上を動く点（動点）の位置を一定の時間間隔 \(\tau \gt 0\) で記録します。記録した時刻を \(t_n=n\tau\) とし，そのときの動点の座標を \((x_n，y_n)\) としましょう。初期時刻は \(t_0=0\) で，初期位置は \((x_0，y_0)\) です。以降，\(n\) は，\(n=1,2,3\) …と増えていきます。
動点の \(x\) 座標の時間変化だけに着目しましょう。
時刻 \(t_n\) と動点の \(x\) 座標 \(x_n\) の組 \((t_n，x_n)\) を \(tx\) 座標平面上の点の座標としてプロットし，点 \((t_n，x_n)\) 付近を拡大すると下図のようになります。この図は前回もみました。
時間区間 \([t_{n-1},t_n]\) の中点を \(t_n’\) とし，時刻 \(t_n’\) における瞬間の速度を時間区間 \([t_{n-1}，t_n]\) における位置の変化率 \(v_n\) で定義しました。\(v\) は速度（velocity）の頭文字です。
\(v_n=\cfrac{x_n-x_{n-1}}{\tau}(n=1,2,3,\cdot\cdot\cdot)\)
これは上の図における赤い線分の傾きです。\(v_{n+1}\) は青い線分の傾きで，\(t_{n+1}’\) における瞬間の速度となります。
時刻 \(t_n\) での速度は（使わないので）定義しませんが，その代わり時刻 \(t_n\) での速度の変化率を考えましょう。
時間区間 \([t_n’，t_{n+1}’]\) における速度の変化率を
\(a_n=\cfrac{v_{n+1}-v_n}{\tau}\)
と書いて，これを平均加速度と呼ぶことにします。\(a\) は加速度（acceleration）の頭文字です。時刻 \(t_n’\) の瞬間の速度を \(v_n\) とみなしたように，時間区間 \([t_n’，t_{n+1}’]\) の中点は \(t_n\) であるから，\(a_n\) を時刻 \(t_n\) の瞬間の加速度と定義します。
加速度を位置の座標を用いて表現すると，
\(a_n=\cfrac{x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}}{\tau^2}\)
となることから，\(a_n\) の実体は，時間幅 \(2\tau\) の時間区間 \([t_{n-1}，t_{n+1}]\) における平均加速度といえます。
動点の \(y\) 座標の時間変化だけに着目しても，同じことがいえます。
例えば，下図は，\(y\) 軸が鉛直上向きであるとして，鉛直下向きに落下するリンゴで，動点はその重心です。
上の図（左）は，\(y\) 軸に沿って落下するリンゴの下端の位置 \(y_n\) を時刻 \(t_n\) ごとに記録した図です。図（右）は，点 \((t_n，y_n)\) を \(ty\) 座標平面上の点の座標としてプロットした図です。
この場合も \(x\) 軸上の動点の運動と同様に，時刻 \(t_n’\) における速度と時刻 \(t_n\) における加速度をそれぞれ
\(w_n=\cfrac{y_n-y_{n-1}}{\tau}\)
\(b_n=\cfrac{w_{n+1}-w_n}{\tau}=\cfrac{y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}}{\tau^2}\)
と定義できます。アルファベットで，\(v\) の次は \(w，a\) の次は \(b\) なので，速度と加速度の文字をそれぞれ \(w，b\) にしました。
下の図は，\(xy\) 平面内で放り投げられたボールを時刻 \(t_n\) ごとに記録した図です。時刻 \(t_n\) におけるボールの重心の位置を点 \(\text{P}_n(x_n，y_n)\) とします。点 \(\text{P}_n(x_n，y_n)\) の位置ベクトルを，
\(\boldsymbol{X}_n=(x_n，y_n)\)
と太文字で書きましょう。\(x_n\) と書くと，第一成分 \(x_n\) と紛らわしいので，大文字で \(\boldsymbol{X}_n\) としました。
再び，時間区間 \([t_{n-1}，t_n]\) の中点を \(t_n’\) としましょう。時間区間 \([t_{n-1}，t_n]\) における位置ベクトルの変化率を平均速度ベクトルと呼び，それを時刻 \(t_n’\) における速度ベクトルと定義して，
\(\boldsymbol{V}_n=\cfrac{X_n-X_{n-1}}{\tau}\)
と表します。速度ベクトル \(\boldsymbol{V}_n\) の成分を \(\boldsymbol{V}_n=(v_n，w_n)\) とすると
\(v_n=\cfrac{x_n-x_{n-1}}{\tau}\)，\(w_n=\cfrac{y_n-y_{n-1}}{\tau}\)
となります。\(v_n\) と書くと，第一成分 \(v_n\) と紛らわしいので，大文字で \(\boldsymbol{V}_n\) としました。
同様に，時刻 \(t_n\) における加速度ベクトルも
\(\boldsymbol{A}_n=\cfrac{\boldsymbol{V}_{n+1}-\boldsymbol{V}_n}{\tau}\)
のように定義します。加速度ベクトル \(\boldsymbol{A}_n\) の成分を \(\boldsymbol{A}_n=(a_n，b_n)\) とすると，
\(\begin{alignedat}{2}a_n &=\cfrac{v_{n+1}-v_n}{\tau}&&=\cfrac{x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}}{\tau^2} \\
b_n &=\cfrac{w_{n+1}-w_n}{\tau}&&=\cfrac{y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}}{\tau^2}\end{alignedat}\)
となります。\(a_n\) と書くと，第一成分 \(a_n\) と紛らわしいので，大文字で \(\boldsymbol{A}_n\) としました。
【運動量と力】
以上の準備のもと，ニュートンの運動方程式を導出しましょう。まず，運動量という量を定義します。そのために次の二つの極端な状況を想像してください。
A：大型トラックが猛スピードで走っている。
B：軽自動車がのろのろと走っている。
あるいは
A：運動会の大玉転がしの大玉が鉄球で，それが猛スピードで転がってきた。
B：ピンポン球がゆっくり転がってきた。
いずれの場合も Aの方が脅威を感じ，Bの方は恐ろしいとは思いませんね。
このように，重くて速い物体と軽くて遅い物体は，明らかに運動の激しさが異なります。この激しさを量的に表したものを物体の運動量といって，質量と速度の積で定義します。速度がベクトルの場合，運動量もベクトルになります。
運動量 = 質量 × 速度
（運動量ベクトル = 質量 × 速度ベクトル）
ここで，質量（慣性質量）とは，止まっているものの動きにくさ，動いているものの止まりにくさ，あるいは速度変化のしにくさを表す量です。
\(xy\) 座標平面上の質量 \(m\) の物体の時刻 \(t_n\) における位置の座標を \((x_n，y_n)\) とし，時刻 \(t_n\) の速度ベクトルを \(V_n\) とします。\(m\) は質量（mass）の頭文字です。このとき，時刻 \(t_n\) の運動量ベクトルを \(\boldsymbol{p}_n\) とすると，
\(\boldsymbol{p}_n=mV_n\)
となります。
時刻 \(t_n’\) から \(\tau\) 時間経った \(t_{n+1}’\) の間に，運動量が \(\boldsymbol{p}_n\) から \(\boldsymbol{p}_{n+1}\) に変化したとします。このとき，その変化には原因があったと考えて，その原因を力（force）と呼びます。
時間区間 \([t_n’，t_{n+1}’]\) において一定方向に一定の大きさの力 \(\boldsymbol{F}_n\) が働いた場合，
\(\boldsymbol{p}_{n+1}-\boldsymbol{p}_n=\boldsymbol{F}_n\tau\)
のように表現します。\(\boldsymbol{p}_n\) はベクトルなので，\(\boldsymbol{F}_n\) もベクトルです。右辺は力積と呼ばれます。
【ニュートンの運動方程式】
運動量の \(\tau\) 時間の変化率は
\(\cfrac{\boldsymbol{p}_{n+1}-\boldsymbol{p}_n}{\tau}=\boldsymbol{F}_n\)
であるので，力 \(\boldsymbol{F}_n\) によって，運動量の変化の割合と変化の方向が定まります。この式をニュートンの運動方程式，あるいは単に運動方程式と呼びます。
運動方程式に \(\boldsymbol{p}_n=m\boldsymbol{V}_n\) を代入すると
\(\cfrac{m(\boldsymbol{V}_{n+1}-\boldsymbol{V}_n)}{\tau}=\boldsymbol{F}_n\)
より，加速度ベクトル \(\boldsymbol{A}_n\) を用いて，時刻 \(t_n\) における運動方程式が
\(m\boldsymbol{A}_n=\boldsymbol{F}_n\)
となります。この式は，質量 \(m\) の物体に力 \(\boldsymbol{F}_n\) が加えられたとき，結果として，この物体に加速度 \(\boldsymbol{A}_n\) が生じる，という因果関係を表す式です。あるいは，物体に加速度があるのならば，その物体には，その加速度ベクトルと同じ方向に，大きさが \(m\) 倍された力が働いていると言い換えられます。
位置ベクトルを用いて書けば，
\(\cfrac{m(\boldsymbol{X}_{n+1}-2\boldsymbol{X}_n+\boldsymbol{X}_{n-1})}{\tau^2}=\boldsymbol{F}_n\)
となります。運動量の変化率を \(\boldsymbol{p}\)，\(\boldsymbol{V}\)，\(\boldsymbol{A}\)，\(\boldsymbol{X}\) を用いてさまざまに表現しましたが，いずれの方程式も運動方程式と呼びます。スカラー量の場合は，
\(ma_n=\cfrac{m(v_{n+1}-v_n)}{\tau}=\cfrac{m(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1})}{\tau^2}=f_n\)
となります。
運動している質量 \(m\) の物体の動きは，その物体に働くであろうさまざまな力 \(\boldsymbol{F}_n\) （スカラーなら \(f_n\) ）を与えて，運動方程式を解いて求めます。
（後半では，いよいよ車は急に止まれないことを運動方程式を用いて考えます。）
※「つい考えてしまう数学」の記事一覧はこちら
1970年東京生まれ。早稲田大学理工学部数学科卒業。東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻博士課程修了。現在，明治大学理工学部数学科専任教授。博士(数理科学)。専門は応用数理，特に界面現象の数理解析。実験を採り入れた数学の講義で定評がある。
| 著書： | 『実験数学読本』①・②・③ (日本評論社)，『次元解析入門』，『界面現象と曲線の微積分』，『動く曲線の数値計算』(以上共立出版)，『大学数学の教則』(ちくま学芸文庫)，『公式は覚えないといけないの？』(ちくまプリマー新書)，他。 |
その他のコンテンツ