特集記事（高校）

といったところでしょう。
　生徒たちに解かせると，(イ)に走って，場合分けと解の不等式で混乱してしまいがちです。
　(ロ)も悪くはないのですが，曲線と斜めの直線がどのように交わるかを調べるのが，かえってメンドウな場合もあるので注意が必要です。
　私は(ハ)がオススメです。この手のグラフに慣れている人なら，\(y=|x^2-2x-3|\) のグラフの「地面」を \(y=x\) に変換するとでもイメージして，次図のような感じだと瞬時に判断できます。（解答例はこちら）

導関数の符号

　ある書籍に次のような例題と解答が載っていました。

　関数 \(y=x^3-3x^2+3\) の極値を求めよ。

解答

　\(y’=3x^2-6x=3x(x-2)\)
　\(y’=0\) とすると　\(x=0，2\)
　\(y\) の増減は次の表のようになる。

　よって，この関数は
　　\(x=0\) で極大値 \(\mathbf{3}\)，\(x=2\) で極小値 \(\mathbf{-1}\)
　をとる。

　これだけでは，増減表の2 段目の「符号」が把握できず，3 段目の矢印（増減）が書けないはずです。したがって，指導する上では「 \(y’\) の符号の説明」を補うことが大切です。
　いくつかの方法が考えられますが，自分はグラフを描くように指導しています。上記の例では次図（左）のような図を描いて説明するし，生徒たちにも描くことを要求します。

　例えば \(y’=x^2+1\) となると「 \(x^2+1=0\) より \(x=\pm i\) 」とか言い出す答案を何度見てきたことか…。これも上図（右）のようにグラフを描くようにしていれば，符号に悩みません。

　関数 \(f(x)\) の増減を調べるときには導関数 \(f'(x)\) の符号を調べることが大切です。そのために \(\color{red}{y=f'(x)}\) のグラフを描く習慣をつけるべきです。（数学Ⅲでは，符号を調べたい部分だけを取り出してグラフを描くこともあります。）
　とくに難関大志望の生徒には，この習慣を身につけさせたいものです。そして，その習慣がついた後に考えさせたい問題がこちらです。

　1つ目の条件はゴリゴリ計算することで処理できます。すると

\(a=-3m-\dfrac{3}{2}\)

\(b=3m^2+3m+\dfrac{1}{2}\)

\(c=-m^3-\dfrac{3}{2}m^2-\dfrac{1}{2}m\)

が得られて

\(f'(x)=3x^2+(-6m-3)x+\left(3m^2+3m+\dfrac{1}{2}\right)\)

となります。ここで，\(y=f'(x)\) のグラフの様子を調べる力が試されます。（解答例はこちら）

　第1回は以上になります。どうでしょうか。楽しんでいただけましたか？
　次回は予備校業界の闇に迫ります！共通テスト対策としても役立つ，関数グラフの面積計算の技巧を紹介します。引き続きよろしくお願いします♪