今週の算数・数学フォト

きれいな形のガラスドームが見えるね。

うーん。それより、ドームのガラスは全部が三角形だよ。すごい数だ。いったい、何枚くらいあるのかな？

地図アプリで、上空からの写真が探せるんじゃないかな。よし、あった。これで数えていけるよ。1段目の三角形は1個、2段目は3個、3段目は5個。規則性がありそうだな……。

こういうときには、表にまとめるとわかりやすそうだね。

全部が奇数だな。2個ずつ増えていく。

1段目の三角形は1個で、1段増えるごとに2個ずつ増えていくわけだから…… \(n\) 段目の三角形の個数は
　　　\(1+2(n−1)=2n-1\)
になるよ。

もちろん、理由も言えなくちゃね。たとえば、2段目と3段目を見てみるよ。2段目は、三角形が3個くっついた台形だ。下の図の、黄色い部分だね。同じ台形は3段目にもあって、増えたのは青い部分の2個。4段目から先も、青い部分、つまり三角形2個が同じように増えていく……。

えへへ。じゃあ、いよいよ、この建物の屋根のガラスの枚数を考えていこうかな。さっきの写真で数えると、この屋根は　1段目から2個ずつ三角形を増やしながら、全部で18段でできているよ。最後の段の三角形の数は
　　　\(18 \times 2-1=35\)
なので、35個だね。
\(1+3+5+\cdots+35\) をコツコツ計算すれば答えは出るけど……これも表にすれば、何か手がかりがつかめそうなんだよね。

あれ？　もしかして、みんな2乗の数になっているのかな？
本当かな。もしそうなら、\(n\) 段目までの合計は \(n^2\) になるけど。

ええと、ちょっと待ってね……何かを思い出しそう……数学者のガウスが、小学生だった頃の話だ……1から100まで足し算をするときの、やり方だったっけ。そうだ。1から100まで足したものと、逆向きに100から1まで足したものを、合計する方法だ。ルーロー、これ使えるよね！

まず、1から \(n\) 段目までの合計は

これに、逆向きの

をたすと……あっ、項が全部 \(2n\) になった。　\(2n\) が \(n\) 個あるから \(2n \times n=2n^2\)
同じものを2つたしているわけだから2でわって、\(n^2\) になる。
つまり、昆虫観察館の屋根に使われているガラスの数は
\(18^2=324\) 枚だ！
いやあ、すっきりした。文字式は偉大だね、ルーロー。じゃあいよいよ、ガラス天井を中から眺めに、昆虫観察館に出発だ〜。