今週の算数・数学フォト

はるかです。ここは岐阜県の岐阜市。「和傘」が有名なんだよね。色とりどりで、きれいだなぁ。

へえぇ。そこをピークに、あとは洋傘が多くなっていったのかな。ところで和傘って、骨がまっすぐのままピシっと開くよね。洋傘の方が丸まってる。中にはこんもり、半球に近い形に開く傘もあるし。

ええと、ふつう傘の骨は6本とか8本のものが多いけど？

こまやかさが違うね。あれ？　そういえば、二等辺三角形を合わせて円に近い形をつくる話って……どこかで聞いたような。円周率に関係があったかな？

やったあ、当たり！

了解！　よーし、いくよ。まずは、円の内側に接する正六角形のそれぞれの頂点と円の中心を結ぶね。正三角形が、6つ合わさった形になりました。

円の半径を1とすると、正三角形の1辺も1。六角形の周は6だから、これを円周と考えて直径2でわると
　\(6 \div 2=3\)
つまり、円周率は3、ということになるね。シンプルで、とっても簡単。

つまり、正十二角形だね。ええと、まずは\(\triangle\mathrm{AOB}\) を考えるよ。

頂点Aから垂線を下ろして、BOとの交点をCとする。\(\angle \mathrm{AOB}=30^{\circ}\) というのが、忘れちゃいけないポイントだね。各辺の長さは、こうなるよ。

\(\mathrm{AO}=\mathrm{BO}=1\) 、\(\mathrm{AC}=\dfrac{1}{2}\) 、\(\mathrm{CO}=\dfrac{\sqrt{3}}{{2}}\) 、\(\mathrm{BC}=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

では、いよいよABの長さを求めてまいります〜。
三角形ABCは直角三角形だから、三平方の定理だね。

　　　\(\mathrm{AB}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2\)
　　　\(\mathrm{AB}^2=\left(\displaystyle\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\displaystyle 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\)
　　　\(\mathrm{AB}^2=\dfrac{1}{4}+1-\sqrt{3}+\dfrac{3}{4}\)
　　　\(\mathrm{AB}^2=2-\sqrt{3}\)

ここで電卓を使って、\(2-\sqrt{3}\) は、およそ0.267949だから

　　　\(\mathrm{AB} \fallingdotseq \sqrt{0.267949} \fallingdotseq 0.518\)

ふう。やっと多角形の1辺の長さが出た。これを12倍して、直径でわると

　　　\((0.518 \times 12)\div 2=3.108\)

ルーロー、どう？　さっきより、かなり3.14に近づいた！

ひゃ、192角形？！　今日は自分でも計算してみたから、いっそうすごさがわかるな。まさに情熱と根気だね。