特集記事（高校）

【問1】1円玉を1円玉のまわりに沿って，すべらないように転がします。元の位置に戻るまで何回転するでしょうか。

【ヒント】1円玉の半径は1です。直線上をすべらないように転がすと，1回転すると \(2\pi\) だけ進みます。

【答】2回転。

　ヒントがヒントになっていなかったかもしれませんね。半回転すると直線上を \(\pi\) だけ進みます。

　長さ \(2\pi\) の線分を半径1の円の周りにぐるっと貼り付けるように曲げると，直線上で \(\pi\) だけ進んだとき，1円玉は逆さまに向いていますが，円の周の上では（逆さまでなく）もとと同じ上を向いているので，そこで1回転したことになるのです。

　転がす円も動かさない円も同じ周長だから，1回転！と考えませんでしたか？
　なぜ勘違いがおきたのでしょうか。上の説明でもまだ腑に落ちないかもしれません。別の状況を考えてみましょう。

【問2】半径1の円を半径2の円のまわりに沿って，すべらないように転がします。元の位置に戻るまで何回転するでしょうか。

【答】3回転。

　ちょっと難しかったですね。でも図をみると納得！？

【問3】\(n\) を自然数として，半径1の円を半径 \(n\) の円のまわりに沿って，すべらないように転がします。元の位置に戻るまで何回転するでしょうか。

【答】いきなり半径 \(n\) だとわからないかもしれないので，\(n=3\) のとき，つまり，半径1の円を半径3の円のまわりに沿ってすべらないように転がしたとき，元の位置に戻るまで何回転するかを考えましょう。

　4回転ですね。
　そうすると，半径 \(n\) の円のまわりをまわるときは，\(n+1\) 回転であろうことが予想されます。
　本当かな？最初の問題の2回転もまだしっくり来ていない人もいるでしょう。\(n+1\) 回転も，そうかもしれないが…，くらいの気持ちかもしれませんね。そこら辺のもやもやをクリアにしていきましょう。
　そのために，もっと一般的な問題を考えます。

【疑問】一般に，半径 \(r_1\) の円を半径 \(r_2\) の円のまわりに沿ってすべらないように転がしたとき，元の位置に戻るまで何回転するか。

【答】この問題は，全体の縮尺を変えても回転数は変わらないから，全体を \(\cfrac{1}{r_1}\) 倍した縮尺にすると，半径 \(r_1\) は半径1になり，半径 \(r_2\) は半径 \(\cfrac{r_2}{r_1}\) になる。\(r＝\cfrac{r_2}{r_1}\) とすると，問題は，

半径1の円を半径 \(r\) の円のまわりに沿って，
すべらないように転がしたとき，
元の位置に戻るまで何回転するか

となる。\(r\) の値は正であればどんな実数をとることもできる。この問題に答えられれば，\(r＝n\)（自然数）の場合も含まれるから，問3の答を得る。
　半径1の円が回転した角度を \(\theta\) とする。半径 \(r\) の円の周上では，角度 \(\alpha\) の分だけ転がったとする。

　半径1の円は直線上だと \(\theta\) だけ回転しているが，円周上だと \(\theta+\alpha\) だけの角度分回転している。

これが「勘違い」のもとである。

　しかし，これをクリアーしてしまえば，後は簡単である。
　半径1の円が転がった長さは，上図の赤い弧の長さだから，\(\theta=r\alpha\) である。そして，回転数を \(\rho\) とすると，\(\rho=\cfrac{\theta+\alpha}{2\pi}\) である。ここから，\(\theta\) を消すと，

\(\rho=\alpha\cfrac{1+r}{2\pi}\)

回転する。

【例1】

\(r＝1\) のとき，\(\rho =1\)（回転）するには，\(\alpha =\pi\) であることがわかる。\(\alpha =2\pi\) ならば，\(\rho =2\)（回転）となる。
\(r＝2\) のとき，\(\rho =1\)（回転）するには，\(\alpha=\cfrac{2\pi}{3}\) であることがわかる。\(\alpha =2\pi\) ならば，\(\rho =3\)（回転）となる。
\(r＝3\) のとき，\(\rho =1\)（回転）するには，\(\alpha =\cfrac{\pi}{2}\) であることがわかる。\(\alpha =2\pi\) ならば，\(\rho =4\)（回転）となる。
\(r＝n\)（自然数）のとき，\(\rho =1\)（回転）するには，\(\alpha =\cfrac{2\pi}{1+n}\) であることがわかる。\(\alpha =2\pi\) ならば，\(\rho =n+1\)（回転）となる。

【例2】

　一般には，\(r\) は1より大きくても小さくてもよい。\(r\) が自然数以外の場合でも，\(\alpha =2\pi\) ならば，\(\rho =1+r\)（回転）となるが，もとの位置にもどったときに，回転が自然数にはならない。
　\(p\), \(q\) を自然数として，\(r=\cfrac{p}{q}\)（既約分数）で，\(\alpha =2q\pi\) とすると，\(\rho =p+q\)（回転）してもとに戻る。
　\(r\) が無理数の場合，\(\alpha\) が \(2\pi\) の整数倍で，かつ \(\rho\) 回転してもとに戻ることはない。

■ レーマーの贈り物

　円を直線上で転がすという（思考）実験は，紀元前から考えられていて，【アリストテレスの贈り物】の回で紹介した。そして，転がしたときの円上の1点の軌跡がサイクロイドになるということは，教科書にも載っている事実である。サイクロイド（cycloid）の命名者は，イタリアのガリレオ（1599）だが，それ以前に，ニコラス・クザ枢機卿（Nicholas of Cusa, Nicholas of Kues, Nicolaus Cusanus, 1401−1464［独］）やメルセンヌ数のメルセンヌ（Mari Mersenne, 1588−1648［仏］）らによって研究されていた。cyclo-は「円」で，-oidは「に似た，の形ような」の意味のギリシャ語である。

　円を定円のまわりに転がしたときの円上の1点の軌跡は，エピサイクロイド（epicycloid）と呼ばれる。epi-は「の上に」の意味で，例えば，epidemic modelは感染症流行モデルのことである。人々（demic）の上に（epi）広がる＝流行する感染症である。

　エピサイクロイドは，デンマークの天文学者オーレ・レーマー（Ole Christensen Rømer, 1644−1710）による命名といわれている（1674）。エピサイクロイドの歯車の研究，コペンハーゲンで最初の街灯を発明，現代的な温度計の発明で知られている。また，光速の定量的測定を初めて行ない，光の速度は有限であるという見解を示した（1676）。

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