教科書・教材のひと工夫（高校）

　編集委員の先生方に，2025年を中心に大学入試問題で気になった問題と，あわせて取り組みたい『ニューグローバル数学Ⅲ』の問題を挙げていただきました。
　第2回のテーマは，「変化への対応が必要な問題」です。
　入試では，典型的な内容を“ひとひねり”した問題が出題されます。『ニューグローバル数学Ⅲ』で典型問題をしっかり押さえることが，変化に対応するための素地になります。

\(m^n＝n^m\)となる自然数

【編集委員のコメント】

　まず，\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{\log x }{x}=0\) は誘導がなくても自力で証明できるようにしましょう。グローバル数学Ⅲの問題82 とセットで押さえておきたいですね。

　その上で，中央大学の問題4(3)やグローバル数学Ⅲの問題86(2)は，一度は経験しておきたい問題です。

　そして，昨年度の東北大学の問題５は，\(f(x)=\cfrac{\log (2x-3)}{x}\) の極値を与える \(x\) の値が定まらないため，やや難しくなっています。変化にうまく対応し，理解を深めましょう。

導関数の正負

【編集委員のコメント】

　グローバル数学Ⅲの問題88では，\(f(x)=\cfrac{\sin x}{x}\) を微分して \(f'(x)\) の正負を調べますが，そのままでは正負が分かりにくい形です。神戸大学の問題5も，\(f(x)=\cfrac{1-\cos x}{x^2}\) とするとき，\(f'(x)\) の正負について同様の課題があります。
　導関数の正負が分かりにくいときは，どのように対応したらよいでしょうか。必要に応じた工夫が求められます。第2次導関数を求めるのは大変ですから，ここでは導関数の一部だけをさらに微分して考えます。

逆関数の積分

【編集委員のコメント】

　グローバル数学Ⅲの問題161は，\(y=\tan x\) の逆関数なので一見手強いです。しかし，求める図形の面積は，逆関数が分からなくても求めることができます。
　慶應義塾大学の問題3は，\(y=f(x)\) の逆関数が比較的容易に求められ，しかも元の関数より扱いやすい形になります。(3)をまともに積分するのは大変ですが，(2)を利用すると簡単に求めることができます。
　問題の条件に照らしながら，元の関数と逆関数のどちらが考えやすいかを，常に意識しておくことが大切です。

伸開線で囲む面積

【編集委員のコメント】

　グローバル数学Ⅲの問題194の題材は伸開線です。点 \(\text{Q}\) の座標を媒介変数 \(\theta\) を用いて表すことが大切ですが，図も添えてあり，自然な立式が可能です。2025年は，長崎大学（工）の問題７で，ほぼ同様の出題がありました。
　昨年度の大阪公立大学の問題３番は，問題文が長く，図もないため一見分かりにくいですが，実際は同じ伸開線の問題です。
　グローバル数学Ⅲの問題192 や問題194 は代表的な曲線なので，大学入試でもよく取り上げられます。理解を深めておけば，与えられ方が変化しても対応できるでしょう。

※入試対策問題集『ニューグローバル数学Ⅲ』の詳細はこちらをご覧ください。