神奈川県立横浜旭陵高等学校
持丸 裕一 先生
「別解を考える」ことは，数学を学ぶ楽しさの一つです。それは授業の場面でも同じです。問題演習中に生徒が思いがけない解法を示すことがあります。こうした解法を共有することで，他者の考え方に触れ，自分の思考を広げることができます。そのような授業は，単に例題を真似して解くだけの授業よりも，はるかに楽しいものとなるでしょう。
また，こちらから「別の解き方はないか？」と問いかけることもあります。別解を考えることによって，見過ごしていた重要な点に気づき，学習内容への理解をより深めることができるからです。
また，こちらから「別の解き方はないか？」と問いかけることもあります。別解を考えることによって，見過ごしていた重要な点に気づき，学習内容への理解をより深めることができるからです。
因数分解の例です。高校数学の最初の単元である「数と式」では，計算力をつけることはもちろん大切ですが，式の見方も豊かにしてあげたいものです。
本問のねらいは，「2種類以上の文字を含むときは，最も次数の低い文字について整理するとよい」ことに気づかせることです。
そこで，教科書にある \(x\) について整理した解答を解説したあとに，短い時間でねらいの達成につながる次のような発問をします。
【発問】
例15について，\(y\) について整理しても因数分解できるだろうか。考えてみよう。
例15について，\(y\) について整理しても因数分解できるだろうか。考えてみよう。
T-1 ：例15のように，1次の文字 \(x\) について整理すると，〇\(x+\)△の形となって，あとは〇と△で共通項を見つけ出せばよいだけです。この場合は，すぐに \((y-3)\) という因数が見つかりました。
T-2 ：2次の文字 \(y\) について整理するとどうでしょう。今度は，〇\(y^2+\)△\(y+\)□の形となって，少々試行錯誤が必要です。
T-3 ： この場合は，\(y^2\) の係数が \(1\) であり，定数項が \(-3\) と \((2x+3)\) の積で，\(y\) の係数がそれらの和になっているので，公式を使って因数分解することができました。
もし，3次の文字があったらもっと大変なことは予想できますね。
以上のことから，2種類以上の文字を含むときは，どの文字に着目するとよいか説明できますか？
T-2 ：2次の文字 \(y\) について整理するとどうでしょう。今度は，〇\(y^2+\)△\(y+\)□の形となって，少々試行錯誤が必要です。
T-3 ： この場合は，\(y^2\) の係数が \(1\) であり，定数項が \(-3\) と \((2x+3)\) の積で，\(y\) の係数がそれらの和になっているので，公式を使って因数分解することができました。
もし，3次の文字があったらもっと大変なことは予想できますね。
以上のことから，2種類以上の文字を含むときは，どの文字に着目するとよいか説明できますか？
例15の次に学ぶ，因数分解最後の例題です。本問のねらいは，「最も次数の低い文字が2種類以上あるときは，その中の1種類について整理するとよい」ことに気づかせることです。
そこで，教科書にある \(x\) について整理した解答を解説したあとに，短い時間でねらいの達成につながる次のような発問をします。
【発問】
例題3について，\(y\) についての2次式とみて降べきの順に整理し，因数分解してみよう。
例題3について，\(y\) についての2次式とみて降べきの順に整理し，因数分解してみよう。
T ：みなさんは，\(x\) と \(y\) のどちらの文字に着目して解く解法が好みですか。隣の人と意見交換してみましょう。
S-1 ：\(y\) に着目すると，たすきがけが２回必要なので計算がたいへんです。\(x\) に着目したほうが好きです。
S-2 ：\(y\) に着目して降べきの順に整理したとき，\(y^2\) の係数は \(1\) となります。また，定数項は積 \((x+2)(2x-3)\) となり，その因数の和が \(y\) の係数 \((3x-1)\) となるから，3行目から4行目は公式を利用して因数分解できます。 \(y\) に着目したほうが，計算が楽なので好きです。
T ：結局，教科書の解答とAさんの解答をみてどんなことが言えますか。
S-3 ：2つ以上の文字を含む多項式において，それぞれの文字についての次数が同じ場合，どの文字について整理してもよいということが言えます。
S-1 ：\(y\) に着目すると，たすきがけが２回必要なので計算がたいへんです。\(x\) に着目したほうが好きです。
S-2 ：\(y\) に着目して降べきの順に整理したとき，\(y^2\) の係数は \(1\) となります。また，定数項は積 \((x+2)(2x-3)\) となり，その因数の和が \(y\) の係数 \((3x-1)\) となるから，3行目から4行目は公式を利用して因数分解できます。 \(y\) に着目したほうが，計算が楽なので好きです。
T ：結局，教科書の解答とAさんの解答をみてどんなことが言えますか。
S-3 ：2つ以上の文字を含む多項式において，それぞれの文字についての次数が同じ場合，どの文字について整理してもよいということが言えます。
この例題3ですが，時間に余裕がある場合は，たくさんの別解を期待して，次のように問いかけると面白いかもしれません。
T ：これまで，因数分解の方法として式の見方をいろいろ勉強してきましたが，次の問題は，みなさんならどう解きますか？
\(2x^2+3xy+y^2+x-y-6\) を因数分解せよ。
\(x\) の文字に着目した解答，\(y\) の文字に着目した解答，さらには（あまり期待はしませんが）2次の同次式に着目した解答が混在し，クラスみんなで別解を鑑賞する醍醐味が味わえます。最後に，みんなで教科書を読みながら，式の見方をまとめるとよいでしょう。
5分間のシンキングタイムを設けて別解を考えさせることで，生徒たちは数学を考える楽しさを実感できるでしょう。このような取り組みを通じて，別解を考える習慣をもつ生徒が増えることを期待します。
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