はじめに
起床から就寝まで，もしかしたら夢の中でも，まったく一瞬たりとも何も考えることがない日はないでしょう。「考える」を次のように程度によって2種類にわけてみます。
一つは，どうしたら試合に勝てるだろうか，どうしたら仕事を上手に回せるだろうか，良い成績を収めるにはどうしたらよいだろうか，目の前の問題を熟考する，などという本格的に自覚して「よく考える」ことです。
もう一つは，もっと素朴に，今日は暑い，なんで？ 今日は赤信号によくひっかかる，どうして？ 今日は人通りが多い，何かあるの？ などと，一瞬考えて，すぐに理由が何となくわかって，あるいは（深く）考えるほどのことではないと判断して，考えるのをやめる程度の「つい考える」ことです。つい考えることは，しょっちゅうあることだと思います。
その程度のつい考えることでも，納得する回答が得られたら，すっきりしますし，何かをクリアーして得した気分になることもしばしばでしょう。
本連載の趣旨は，そのようについ考えることをきっかけとして，もうちょっとだけついつい考えたり，新しい疑問が湧いたり，もっと考えて没頭したり，・・・といった感じに，つい考えることからの展開を楽しむことです。
言い換えると「つい考えてしまう考えること」の紹介です。そして，その考えることに数学が含まれていること，いやむしろ，読者の皆さんが，考えること自体を数学というのだ，と実感できるような連載になりましたら幸いです。
2024年8月吉日 矢崎成俊
軸上に長さ\(\pi\)の目盛りを描く
1円玉の直径は2cmなので，周長は 2\(\pi\) cmです。だから6cm以上なのですが，1円玉を手にとると，円周が6cm以上あるとはどうも思えません。目の錯覚でしょうか。
円周は直径の \(\pi\) 倍です。だから，直径 \(1\) の円をすべらないように直線上を転がして，円がちょうど1周したとき，転がった距離は \(\pi\) になります。この図を見ると，ますます円周よりも長さ \(\pi\) の線分の方が長く見えませんか。
長く見えるとしたらそれは目の錯覚ですから，やはり円周を直接測って納得するのがよいでしょう。測る方法はいくつか考えられます。
- 円柱状の容器などの円周をひもでちょうど1周分移しとって，ひもを伸ばしてもの差しで測る。
- あるいは，円周を直接巻き尺で測る。
- チーズを入れているような円盤状の丸い紙の容器や，トイレットペーパーの芯などを鋏で切って，真っ直ぐに伸ばして，もの差しで測る。
皆でわいわいとチャレンジしてみてください。いずれの方法でも直径の3.14倍のように小数点以下2桁まで精度良く計測できたら大変素晴らしいです。
【疑問】実際の計測では誤差がつねに入り込みます。そこで，理論上でよいので，この図のように直線の上に長さ\(\pi\)の線分を書くことはできるでしょうか。
例えば，\(\sqrt{2}\) は，放物線 \(y=x^2-2\) の \(x\) 切片（の正の方）として与えられます。これは面積 \(2\) の正方形の一辺の長さを求めることに等しい操作（考え方）といえます。
もちろん，\(\sqrt{2}\) は，1辺の長さ \(1\) の単位正方形の対角線の長さとして与えられるので，\(y=x\) 上で，原点から \(1\) の距離にある第1象限の点で \(y=x\) に直交する傾き \(-1\) の直線の \(x\) 切片が \(\sqrt{2}\) となります。
ただし，直線の方程式が \(y=-x+\sqrt{2}\) となり，\(\sqrt{2}\) の切片を求めたいのに，方程式ですでに \(\sqrt{2}\) を使うことになって，少々不満が残ります。
不満はともかく，いずれの場合も，曲線や直線の \(x\) 切片として，\(\sqrt{2}\) が求まります。
【疑問の深堀り】\(\pi\) は曲がった円周の長さです。言い換えると，回転角ともいえます。上であげた疑問を深堀りすると，角度を直線上の線分の長さとして表現できるか，という疑問になるでしょう。
アルキメデスは，ある曲線を使って，この疑問を見事に解決しました。
（後編に続く）
1970年東京生まれ。早稲田大学理工学部数学科卒業。東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻博士課程修了。現在，明治大学理工学部数学科専任教授。博士(数理科学)。専門は応用数理，特に界面現象の数理解析。実験を採り入れた数学の講義で定評がある。
| 著書： | 『実験数学読本』①・②・③ (日本評論社)，『次元解析入門』，『界面現象と曲線の微積分』，『動く曲線の数値計算』(以上共立出版)，『大学数学の教則』(ちくま学芸文庫)，『公式は覚えないといけないの？』(ちくまプリマー新書)，他。 |
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