特集記事（高校）

　お土産屋さんに，まんじゅうの4個入り，6個入り，9個入りの箱がそれぞれ沢山あります。

【答】4個入りと6個入りを1箱ずつ買えばよいです。

【答】買えません。4個入りを1箱だと不足，6個入りを1箱だと過剰になります。

【答の深堀り】

　それぞれ1箱ずつ買って，1人2個ずつ配布すればよいじゃないか，いやいや6個入りを1箱買って，誰か1人は2個食べればよいじゃないか，という現実的なナイスなアイディアはここでは却下します。柔軟な発想はときに重要ですが，厳しい制限下における思考もまた数学的な生命力が鍛えられますので。

【答】4個入りを2箱，6個入りと9個入りを1箱ずつ買えばよいです。

【答の深堀り】
　頭の中でこんな計算をした方もいるかもしれません。

　とりあえず9個入りを1箱買うことにして，次に4個入りを買うことにして，…

\(23=9+14=9+(4+10)=9+4+(4+6)=4\times2+6+9\)

　結局，\(4a+6b+9c=23\) を満たす0以上の整数 \(a,\ b,\ c\) を探す問題になります。1つの方程式に3つ未知数があるので，方程式は不定になります。だから，もし答えがあったとしても，1つに定まるとは限りません。

【答のもっと深堀り】
　問題2は，9個入りを考えないものとして

\(4a+6b=5\)

を解く問題ですが，例えば，\((a,\ b)=(0.5,\ 0.5),(1.25,\ 0)\) など，\(a,\ b\) が実数ならば答えは無限にあります。実際，\(t\) を任意の実数として，\((a,\ b)=(1.25-1.5t,\ t)\) はすべて解です。
　ここから，だめもとで，0以上の整数 \(a,\ b\) が見つかるか考えてみましょう。
　まず，\(a,\ b\) は0以上でなければならないので

\(1.25\geqq1.5t,\ t\geqq0\)

より，\(0\leqq t \leqq \frac{5}{6} \lt 1\) となります。
　よって，\(b=t\) が整数となるには \(t=0\) しかないことがわかります。
　このとき，\(a=1.25\) となってしまい，整数 \(a\) が得られません。
　以上より，\(4a+6b=5\) を満たす0以上の整数 \(a,\ b\) は存在しないことが示されました。

【疑問】何人の場合にまんじゅうをちょうど1人1個ずつ配れて，そして何人の場合に配れないのでしょうか。

(後編では，ちょっと工夫した数表を使って，この疑問を解決します。）